7 de diciembre de 2013

[Problema] Modelo EOQ con reposición uniforme

Considere la situación de inventarios en la cual las existencias se reponen de manera uniforme( en lugar de instantaneamente) a una tasa a. El consumo ocurre a la tasa constante D. Ya que el consumo también ocurre durante el periodo de reposición, es necesario que a>D. El costo de preparación es K por pedido, y el costo de retención es h por unidad, por unidad de tiempo. Si y es el tamaño de pedido y no se permite que haya escasez, demuestre que.
  • El nivel de inventario es $y(1-\frac{D}{a})$
El nivel de inventario N(y), se puede razonar de la siguiente manera:
De cada (%) a que va entrando al inventario, entran a (eso es obvio xD)
De cada (%)a que entra al inventario, sale un porcentaje D, de tal manera que se tiene una razón de cambio (aumento) en N(y) dada por $N'(y)=\frac{a-D}{a}$, integrando de 0 a y*, obtenemos $N(y)=(1-\frac{D}{a})y$.
  • El costo total por unidad de tiempo dado es: $TCU(y)=\frac{KD}{y}+\frac{h}{2}(1-\frac{D}{a})y$
La primera parte del TCU queda igual, solo hay que  descontar una parte el costo de retención, pues no está llegando  todo a la vez instantáneamente. La tasa a la que los objetos son retirados del inventario está dada por $\frac{D}{a}$, por lo que la cantidad media por la que no tenemos que pagar reposición está dada por $\frac{D}{a}\frac{y}{2}$. Dicho esto, y haciendo simplificaciones, se tiene que el nuevo modelo es:
$TCU(y)=\frac{KD}{y}+\frac{h}{2}(1-\frac{D}{a})y$..............$(*)$

  • La cantidad de pedido económica es $y*=\sqrt{\frac{2KD}{h(1-\frac{D}{a})}D
 $\frac{d}{dy}TCU(y)=\frac{-KD}{y^2}+\frac{h}{2}(1-\frac{D}{a})=0$
Despejando $y$
$\rightarrow y^*=\sqrt{\frac{2KD}{h(1-\frac{D}{a}}}$
  • Demuestre que la EOQ en la situación de reposición instantánea puede derivarse de la formula anterior.
Para el último punto solo hace falta tomar el siguiente límte:
$\lim{x\rightarrow\infty}TCU(y)$, de donde se obtiene el TCU del modelo EOQ simple.

Referencias
Taha. Investigación de operaciones, Novena edición.